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第8章 宇宙的时空奥秘与命运（第5页）

求学经历与高维几何思想启蒙

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黎曼的数学天赋被他的中学校长施马尔富斯注意到，校长特许他不用上数学课，可以随意进入图书馆。在图书馆内，黎曼发现了影响他一生的宝藏——法国科学家勒让德所着的《数论》。这本书激发了黎曼对素数之谜的极大兴趣。素数是一个大于1的自然数，除了1和它本身之外不能被其他整数整除，像2、5、19、137等数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，素数在数量中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。黎曼试图改进勒让德记载的一个用来估计小于任意给定数的素数近似数的经验公式，没想到在改进过程中诞生了至今仍是最困难的数学难题之一的黎曼猜想。1859年，黎曼才将他的这一猜想在其撰写的关于小于某个给定量的素数数目的论文中公布。然而，黎曼的求学之路并非一帆风顺。当时的欧洲大学集体涨学费，直到两年后，1846年黎曼的父亲攒够钱，他才顺利进入哥廷根大学学习哲学和神学，这一年黎曼正好二十岁。在哥廷根，他遇到了伟大的老师——德国数学物理学家、历史上最重要的数学家之一卡尔·弗里德里希·高斯。高斯很早就萌发了高维几何的想法，也曾向同事提起把假设完全生活在二维表面的“书虫”推广到高维空间的几何学中去，但由于他害怕遭到保守派的迫害，没有发表任何相关的论文和演讲。黎曼成为高斯的得意门生后，高斯非常喜欢这个数学天赋极高的年轻人，也经常与黎曼分享他的好奇心，让黎曼重新制定欧几里得几何的基础，以一种可以将曲面纳入通常三维之外的方式。实际上，在19世纪中后期，一部分数学家们对重新制定欧几里得的几何基础兴趣浓烈，他们也提出了和后来爱因斯坦同样的问题：宇宙有三维空间，那么四维是什么样子的呢？五维、十维、无穷维又是什么样子的呢？为了解开心中的疑惑，数学家们在任意空间维数的几何上做了大量工作，这些几何违反了欧几里得的一个或者多个公理。遗憾的是，当时数学界的主流思想认为对第四维度的思考是一种荒诞的行为，并不认可。英国数学家、物理学家沃利斯在他的《代数论》中把第四维度描述为“自然界中的怪物”，不过这些不成熟的高维几何思想却为黎曼提供了灵感。

数学家证实四维空间真实存在？《三》

博士论文及早期影响

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1851年，二十六岁的黎曼提交了他的博士论文《单复变量函数的一般理论基础》，他的想法深入地影响了复变函数和复几何两门学科的发展，这篇论文被认为是复分析学科的重大突破，是数学的永恒财富。黎曼也因此成为了复变函数论的奠基人之一。

任职资格试讲与黎曼几何的诞生

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此时的黎曼和大多数毕业生一样面临着择业难题，他希望自己能够留在哥廷根大学任教。不过当时的德国对毕业生获得留校任教的资格有着严格的要求，黎曼还必须要通过另一场答辩。经过两年多的筹划，黎曼为任职资格试讲准备了三个选题：“论函数作为三角级数的可表示性的问题的历史”“论两个未知数的两个二次方程的解”“论奠定几何学基础之假设”。黎曼原本不打算讲“几何基础”这个选题，因为他对其准备并不充分，且这不是他的长项，所以他把这个选题放在最后，然而却被导师高斯选中了。于是，黎曼只能硬着头皮上，好在他并没有让高斯失望。1854年，在其导师高斯的协助下，黎曼在哥廷根大学发表了《论作为几何学基础的假设》的演讲，这就是我们今天所说的黎曼几何。对于当时的数学界来说，黎曼的思想过于超前，据说现场除了高斯对其演讲内容深度赞赏之外，其余在场嘉宾几乎无人能够听懂，黎曼和他的思想也因此不受待见。而这份对几何学具有开创性的演讲稿直到黎曼去世的两年后才被正式出版。黎曼的伟大之处在于他开创了高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，建立了一种全新的几何体系。在随后的六十多年里，黎曼的演讲稿几乎无人问津，只有极少数的数学家会翻看。可谁也没想到，现代物理学的奠基人阿尔伯特·爱因斯坦看到黎曼的演讲后受到了极大的启发，并将其作为广义相对论的基础，黎曼几何才真正踏上了历史的舞台。按照爱因斯坦本人的评价，当时的物理学家们距离这种思维方式还差得很远。不过在此后的一百多年里，黎曼几何已经逐渐演化成为现代科学的一块重要基石，时至今日，黎曼几何对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。那么，黎曼究竟是怎么想的呢？当你了解了他的思路之后，一定会拍案叫绝。

数学家证实四维空间真实存在？《四》

黎曼几何中的空间认知突破

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在黎曼演讲的《论作为几何学基础的假设》中，他描绘了一种全新的物理景象，与高斯的“书虫”概念很相似。如果一张纸上面生活着二维生物，当我们把这张纸褶皱后，这些二维生物依然会觉得世界是平坦的，因为它们的身体也会跟着纸张一同变褶皱。但当它们在褶皱的纸上运动时，就会感到有一股看不见的“力”阻止它们沿着直线运动，当它们的身体越过纸上的一道皱纹，它们都会被推得左右摇晃。这是自牛顿之后两百年以来，人类首次在思想上对空间认知的突破。黎曼成为了第一个认为力是由空间变形造成的人。接着，黎曼把我们生活的三维空间想象成四维空间中褶皱的纸，由此可以得到这样的结论：宇宙是弯曲的。虽然我们看不到空间的弯曲，但我们却在弯曲的空间中运动，你会感到好像有一股神秘的力量在拉拽着我们，让我们左摇右晃。黎曼认为这种力不仅是引力，他推断电力、磁力也归结于宇宙在第四维空间的褶皱，只是我们看不见而已。通过引进第四空间维度，黎曼意外地发现自然规律在高维空间中表述时就显得非常简单。

空间的本质与坐标系概念

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那么，什么是空间呢？空间就是物与物的位置差异度量，是由长度、宽度、高度、大小表现出来的一种几何学概念。空间具有承载物质的性质，能够承载物质变化、移动，所有的物质都能够存在于这个空间，而且在其中运动、相互作用、诞生和消亡。简单地说，空间的本质就是一个集合，组成这个集合的元素既可以是具体的物，也可以是抽象的态。在几何学中，你可以把空间理解为是无数个点构成的集合，无论是一条直线还是曲线，亦或是一个平面或者是曲面，都可以把它们看作是由无数个点构成的集合，所以这些图形都是空间。如果我们在这个空间上放一些观察者，而每一个观察者都可以根据自己的视角建立一个独属于自己的坐标系，这种坐标系也被称为本地坐标参考系。那么，这种坐标系可不可以更换呢？比如，有一个观察者想把自己的二维坐标系更换成一个更炫酷的极坐标系，可不可以呢？完全没有问题。对于一个空间中的观察者来说，空间本身是一个客观的存在，参考系则是一个人为的概念，只要你高兴，你可以随意绘制出想要使用的地图版本，可以把自己所在的位置设置成地球的中心都没有问题，地球仍然是那个地球，不会因为观察者而改变，但是观察者绘制的地图则是一个人为的结果，所以某半岛绘制的地图总是以自己为中心。

黎曼几何的具体内容与应用

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一句话概括，黎曼几何是研究内蕴与外嵌几何的几何分支。通俗来讲，就是我们可能生活在弯曲的空间中，比如一只生活在球面的蚂蚁，作为生活在弯曲空间中的个体，我们并没有足够多的智慧去把我们的弯曲嵌入到更高维度的空间中去研究，就好比蚂蚁只懂得在球面上爬，不能从“三维空间的曲面”这一观点来认识球面，因为球面就是它们的世界。举一个简单的例子，比如我们地球的表面就可以看作是一个嵌入到三维空间的二维曲面，或者是二维的流形。站在三维视角来看，我们可以很容易地画出球面的球心、半径、周长还有法线，要表达这几个元素就必须要满足一个硬性条件，就是三维的外部视角，因为它们并不存在于这个球面本身的空间里面。既然这些东西不是在球面的内部，就不能把这些东西定义为内蕴，于是科学家们用一个新词“外嵌”形容。如果把这个球面给展开，这些外嵌的几何量就会消失不见，这个时候一个生活在低维空间的观察者仍然可以观察到的几何属性也就只有内蕴了。简单地说，你任意画的一条曲线，而这条曲线的长度并不依赖于某个高维视角的存在而存在，因为曲线的长度就是我们所说的内蕴几何量。搞清楚了内蕴几何后，即便身处弯曲空间中，我们依然能够测量长度、面积、体积等，我们依旧能够算微分、积分，甚至我们能够发现我们的空间是弯曲的。我们熟知的欧几里得几何适用于平面空间，如点、线、平面等。在椭圆几何中，欧几里得的第五公理——平行公理就不适用，因为在曲线几何中没有平行线。这个时候黎曼几何就派上了用场，它适用于曲面空间，如圆柱、球面、环面等。我们知道在平面空间中三角形三个角的总和等于一百八十度，而在弯曲空间中三角形的内角和不是大于就是小于一百八十度，因为三角形的边在球面上是向外弯曲的，在双曲线上是向内弯曲的。在平坦空间中两点之间最短的距离是一条直线，可以用距离公式计算，而在弯曲空间中，直线被称为测地线，它表示局部距离最小路径，同时两点之间存在多个测地线。自从黎曼的演讲走红之后，所有的数学家们没有人再去研究欧几里得的几何，纷纷投入到研究黎曼几何的热潮中。黎曼通过引入第四空间维度，无意间探知到了自然定律在高维度空间会变得更加简单的秘密，他用极其简洁的方式表达了它的核心内容，就是将勾股定理推广到高维空间的几何学中去，简单地说，就是通过直角三角形的三边长度关系定理a2

+

b2

=

c2推广形成了一个三维立方体三边与对角线关系就变成了a2

+

b2

+

c2

=

d2。黎曼改变了我们对空间的认知，从平面转变为曲面，一个普通的二维面只需要三个数字就能够描述它所有的状态，但在四维空间中，黎曼发现至少需要十个数字才能完全描述其状态，这些数字被称为黎曼度规张量，并且预示着物理学的未来发展方向。那么，黎曼几何又是如何成为支持爱因斯坦广义相对论的基石的呢？

数学家证实四维空间真实存在？《五》

爱因斯坦与相对论的发展

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1905年，爱因斯坦发表了他的第一篇惊世之论——狭义相对论。在狭义相对论中，爱因斯坦主要关注的是它的物理性质和解释，而不是任何数学构造。狭义相对论破除了绝对的时空观，不再存在绝对时间，更不存在绝对空间，时间和空间之间是有关系的，但它们没有弯曲。同时，爱因斯坦也没有把引力加入进狭义相对论当中，也就是说，爱因斯坦没有意识到控制大质量物体周围引力场影响的数学规律，这也为广义相对论的诞生埋下了伏笔。后来的研究中，爱因斯坦也意识到了这一点，他认为不能再用单一的标量来表述引力，需要一种全新的几何语言。在瑞士数学家格罗斯曼·马塞尔的帮助下，爱因斯坦发现了黎曼几何的魅力。爱因斯坦在黎曼的演讲稿中找到了他想要的答案，黎曼想出了一个有趣的连接两个曲面的方法，就像两张纸在它们上面各剪一刀，再把它们沿着切口粘在一起，如此一来，我们二维空间的“书虫”就可以通过黎曼切口从一张纸爬到另一张纸上，黎曼切口就像是一个穿越空间的虫洞。黎曼通过度规张量里包括的曲率数值来描述引力，把引力表示为场的概念，但他只是将其作为数学研究，并没有赋予其物理意义。黎曼几何的数学框架对爱因斯坦来说是一个意外的幸运，这也给予了爱因斯坦最大的启发：引力实际上是时空曲率的结果，时空曲率越大，它受到的引力就越大。爱因斯坦以黎曼几何为支撑基础，撰写了广义相对论，在1915年一经发表就轰动了全世界，也让爱因斯坦成为了现代最伟大的物理学家之一。

对人类进入四维空间的推测

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那么，人类进入到四维空间或是更高维度的空间后会怎么样呢？按照爱因斯坦的《相对论引论》描述，只有当物体接近光速时才会发生质量变化。所以说，我们只有在达到或接近光速时，就能够进入四维空间，这个空间包含无数个垂直存在的三维空间，在其中穿越质量是相对自由的。简单来说，人生中的每个年龄阶段经历的场景和事件都构成了四维空间中拥挤的组成部分。在三维空间中无法回首过去，但在四维空间却是可以轻松做到。当然，在那里你已经不再是人了，而是更高级别的四维生物。换句话说，现在的你需要以三维的躯体为载体活着，而到了以意识为维度的更高维度的空间当中，躯体就消失了，所有人都以意识的形态存在。这意味着三维空间的你虽然死了，但是在更高维度的空间当中你却活着。

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